Podmíněná pravděpodobnost a závislé a nezávislé jevy: Porovnání verzí

m
 
(Není zobrazeno 49 mezilehlých verzí od 5 dalších uživatelů.)
Řádek 1: Řádek 1:
−
== [[Pravděpodobnost jevu]] ==
+
== Pravděpodobnost jevu ==
−
Pravděpodobnost jevu je podle Laplaceovy definice poměrem počtu případů příznivých k počtu případů možných bez realizace experimentu.<br />
+
 
−
Jinými slovy zjišťujeme jakou máme šanci, že daný jev nastane. <br />
+
Pravděpodobnost jevu je podle Laplaceovy definice poměrem počtu případů příznivých k počtu případů možných bez realizace experimentu. Jinými slovy zjišťujeme jakou máme šanci, že daný jev nastane.
−
<math>P(A)=\frac{m(A)}{m}</math><br />
+
 
−
Výsledek uvádíme v procentech nebo v intervalu <0,1>. Přičemž 1 znamená výsledek jistý a 0 nemožný. <br />
+
<math>P(A)=\frac{m(A)}{m}</math>
−
Uskutečníme-li pokus, pak počítáme [[Četnost|relativní četnost]]<br />
+
 
−
<ref>="KÖNIGOVÁ, Marie. Matematické a statistické metody v informatice: celostátní vysokoškolská učebnice pro stud. obor věd. inf. a knihovnictví. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1988, 100-101 s. Učebnice pro vysoké školy (Státní pedagogické nakladatelství)"></ref><ref>="CALDA, Emil a Václav DUPAČ. Matematika pro gymnázia: kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. 4. upr. vyd. Praha: Prometheus, 1999, s. 80-127. Učebnice pro střední školy. ISBN 80-7196-147-7."></ref><br />
+
Výsledek uvádíme v procentech nebo v intervalu <0,1>. Přičemž 1 znamená výsledek jistý a 0 nemožný. Uskutečníme-li pokus, pak počítáme [[Četnost|relativní četnost]]
−
=== Výsledky náhodného pokusu musí splňovat podmínky:<br /> ===
+
 
 +
Získané znalosti můžeme využít například ve [[Statistika|statistice]] při [[rozhodování]] či [[Hazardní hry (glosář RJ)]]
 +
<ref name="KÖNIGOVÁ, Marie.">KÖNIGOVÁ, Marie.Matematické a statistické metody v informatice: celostátní vysokoškolská učebnice pro stud. obor věd. inf. a knihovnictví. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1988, 189 s. Učebnice pro vysoké školy (Státní pedagogické nakladatelství.</ref><ref name="CALDA, Emil a Václav DUPAČ.">CALDA, Emil a Václav DUPAČ. Matematika pro gymnázia: kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. 4. upr. vyd. Praha: Prometheus, 1999, s. 80-127. Učebnice pro střední školy. ISBN 80-7196-147-7.</ref><br />
 +
 
 +
=== Výsledky náhodného pokusu musí splňovat podmínky: [[náhodná veličina]]===
 +
 
 
* nemohou padnout dva výsledky současně
 
* nemohou padnout dva výsledky současně
 
* jeden z výsledků nastane vždy
 
* jeden z výsledků nastane vždy
 
* každý výsledek je stejně možný<br />
 
* každý výsledek je stejně možný<br />
 +
 
př. Hod kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že padne číslo 2<br />
 
př. Hod kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že padne číslo 2<br />
 
Ω={1,2,3,4,5,6}<br />
 
Ω={1,2,3,4,5,6}<br />
 
A={2}<br />
 
A={2}<br />
 
m=6<br />
 
m=6<br />
−
m(A)=1<br /><br />
+
m(A)=1<br /><math>P(A)=\frac{m(A)}{m}=\frac{1}{6}</math><br />Pravděpodobnost, že na hrací kostce padne číslo 2, je <math>\frac{1}{6}</math>
−
<math>P(A)=\frac{m(A)}{m}=\frac{1}{6}</math><br />
+
 
−
Pravděpodobnost, že na hrací kostce padne číslo 2, je <math>\frac{1}{6}</math>
 
 
== Podmíněná pravděpodobnost ==
 
== Podmíněná pravděpodobnost ==
−
Uvažujme pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) a jev B ϵ A, který má nenulovou pravděpodobnost.<br />
+
 
−
Podmíněná pravděpodobnost jevu A za předpokladu, že nastal jev B, je definován vztahem<br />
+
Uvažujme pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) a jev B ϵ A, který má nenulovou pravděpodobnost.
−
'''<math>P(A|B)=\frac{P(A∩B)}{P(B)}</math><br />'''
+
 
−
př. Hod hrací kostkou<br />
+
Podmíněná pravděpodobnost jevu A za předpokladu, že nastal jev B, je definován vztahem
−
Ω={1,2,3,4,5,6}<br />
+
 
 +
<math>P(A|B)=\frac{P(A∩B)}{P(B)}</math>
 +
 
 +
př. Hod hrací kostkou
 +
 
 +
Ω={1,2,3,4,5,6}
 
A={1,2,3}<br />
 
A={1,2,3}<br />
 
B={2,4,6}<br />
 
B={2,4,6}<br />
Řádek 29: Řádek 39:
 
<math>P(A)=\frac{3}{6}</math><br />
 
<math>P(A)=\frac{3}{6}</math><br />
 
<math>P(B)=\frac{3}{6}</math><br /><br />
 
<math>P(B)=\frac{3}{6}</math><br /><br />
−
'''<math>P(A|B)=\frac{P(A∩B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{6}}=\frac{1}{6}.\frac{6}{3}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}</math><br />'''
+
<math>P(A|B)=\frac{P(A∩B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{6}}=\frac{1}{6}.\frac{6}{3}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}</math><br />
 
Pravděpodobnost, že nastane jev B i A současně je <math>\frac{1}{3}</math><br />
 
Pravděpodobnost, že nastane jev B i A současně je <math>\frac{1}{3}</math><br />
−
== Jevy ==
+
<ref name="BUDÍKOVÁ" />
 +
<ref name="CALDA, Emil a Václav DUPAČ." />
 +
<ref name="KÖNIGOVÁ, Marie." />
 +
 
 +
=== Jevy ===
 +
 
 
Jevy jsou podmnožiny množiny všech možných výsledků.<br />
 
Jevy jsou podmnožiny množiny všech možných výsledků.<br />
 
Označují se velkými písmeny A, B, C atd.<br />
 
Označují se velkými písmeny A, B, C atd.<br />
−
===Pravděpodobnost náhodného jevu ===
+
<ref name="BUDÍKOVÁ">BUDÍKOVÁ, Marie, Maria KRÁLOVÁ a Bohumil MAROŠ. Průvodce základními statistickými metodami. 1. vyd. Praha: Grada, 2010, s. 54-54. Expert (Grada). ISBN 978-80-247-3243-5.</ref>
 +
 
 +
=== Pravděpodobnost náhodného jevu ===
 +
 
 
Pravděpodobnost náhodného jevu A je množinová funkce, která náhodnému jevu A z pole náhodných jevů přiřadí nezáporné číslo, jež označujeme P(A)<br />
 
Pravděpodobnost náhodného jevu A je množinová funkce, která náhodnému jevu A z pole náhodných jevů přiřadí nezáporné číslo, jež označujeme P(A)<br />
−
<ref name>="KÖNIGOVÁ, Marie. Matematické a statistické metody v informatice: celostátní vysokoškolská učebnice pro stud. obor věd. inf. a knihovnictví. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství"></ref>
+
<ref name="KÖNIGOVÁ, Marie." />
−
===Závislé a nezávislé jevy ===
+
 
 +
== Stochasticky závislé a nezávislé jevy ==
 +
 
 
Nastalé jevy jsou nezávislé, pokud nastoupení jednoho neovlivní pravděpodobnost, s ní při témže pokusu očekáváme nastoupení jiného jevu.<br />
 
Nastalé jevy jsou nezávislé, pokud nastoupení jednoho neovlivní pravděpodobnost, s ní při témže pokusu očekáváme nastoupení jiného jevu.<br />
 
Náhodné jevy A a B jsou na sobě nezávislé, právě když platí:<br />
 
Náhodné jevy A a B jsou na sobě nezávislé, právě když platí:<br />
−
'<math>P(A∩B)=P(A).P(B)</math>' přičemž A, B ∈ S <br />
+
<math>P(A∩B)=P(A).P(B)</math> přičemž A, B ∈ S <br />
 
V případě tří náhodných jevů platí, že pravděpodobnosti průniků nezávislých jevů jsou rovny součinu jejich pravděpodobností:
 
V případě tří náhodných jevů platí, že pravděpodobnosti průniků nezávislých jevů jsou rovny součinu jejich pravděpodobností:
−
'<math>P(A∩B)=P(A).P(B),P(A∩C)=P(A).P(C),P(B∩C)=P(B).P(C)</math>'
+
<math>P(A∩B)=P(A).P(B),P(A∩C)=P(A).P(C),P(B∩C)=P(B).P(C)</math><br />
−
'<math>a navíc P(A∩B∩C)=P(A).P(B).P(C) </math>'
+
a navíc <math>P(A∩B∩C)=P(A).P(B).P(C) </math>
 +
 
 +
Jsou-li A, B nezávislé jevy, pak jsou i A, B´ a A´,B a A´,B´nezávislé.<br />
 +
 
 +
př. Hod hrací kostkou<br />
 +
Ω={1,2,3,4,5,6}<br />
 +
m=6<br />
 +
A={3,4,5}<br />
 +
B={2,3}<br />
 +
C={1,3,5}<br />
 +
 
 +
A ∩ B = {3}<br />
 +
P(A ∩ B)<math>=\frac{1}{6}</math><br />
 +
B ∩ C = {3}<br />
 +
P(B ∩ C)<math>=\frac{1}{6}</math><br />
 +
A ∩ C = {3,5}<br />
 +
P(A ∩ C)<math>=\frac{2}{6}</math><br />
 +
 
 +
<math>P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}</math><br />
 +
<math>P(B)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}</math><br />
 +
<math>P(C)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}</math><br />
 +
 
 +
<math>P(A/B)=\frac{A∩B}{P(B)}</math><br />
 +
<math>P(A/B)=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{6}.\frac{3}{1}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}</math><br /><br />
 +
<math>P(A/C)=\frac{A∩C}{P(A)}</math><br />
 +
<math>P(A/C)=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}.\frac{2}{1}=\frac{2}{3}</math><br /><br />
 +
<math>P(B/A)=\frac{A∩B}{P(A)}</math><br />
 +
<math>P(B/A)=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{6}.\frac{2}{1}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}</math><br /><br />
 +
<math>P(B/C)=\frac{B∩C}{P(C)}</math><br />
 +
<math>P(B/C)=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{6}.\frac{2}{1}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}</math><br /><br />
 +
<math>P(C/B)=\frac{C∩B}{P(C)}</math><br />
 +
<math>P(C/B)=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{6}.\frac{3}{1}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}</math><br /><br />
 +
<math>P(C/A)=\frac{A∩C}{P(C)}</math><br />
 +
<math>P(C/A)=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}.\frac{2}{1}=\frac{2}{3}</math>
 +
 
 +
 
 +
Jsou jevy závislé či nezávislé?<br />
 +
 
 +
Jev A na jevu B
 +
<math>P(A)=P(A/B),\frac{1}{2}=\frac{1}{2}</math><br />
 +
jev A je nezávislý na jevu B
 +
 
 +
Jev A na jevu C
 +
<math>P(A)=P(A/C),\frac{1}{2}≠\frac{2}{3}</math><br />
 +
jev A je závislý na jevu C
 +
 
 +
Jev B na jevu A
 +
<math>P(B)=P(B/A), \frac{1}{3}=\frac{1}{3}</math><br />
 +
jev B je nezávislý na jevu A
 +
 
 +
Jev B na jevu C
 +
<math>P(B)=P(B/C), \frac{1}{3}=\frac{1}{3}</math><br />
 +
jev B je nezávislý na jevu C
 +
 
 +
Jev C na jevu B
 +
<math>P(C)=P(C/B),\frac{1}{2}=\frac{1}{2}</math><br />
 +
jev C je nezávislý na jevu B
  
−
<ref>="BUDÍKOVÁ, Marie, Maria KRÁLOVÁ a Bohumil MAROŠ. Průvodce základními statistickými metodami. 1. vyd. Praha: Grada, 2010, s. 54-54. Expert (Grada). ISBN 978-80-247-3243-5."></ref>
+
Jev C na jevu A
−
<ref name>="KÖNIGOVÁ, Marie. Matematické a statistické metody v informatice: celostátní vysokoškolská učebnice pro stud. obor věd. inf. a knihovnictví. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství"></ref></ref><ref name>="CALDA, Emil a Václav DUPAČ. Matematika pro gymnázia: kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. 4. upr. vyd. Praha: Prometheus"></ref>
+
<math>P(C)=P(C/A),\frac{1}{2}≠\frac{2}{3}</math><br />
 +
jev C je závislý na jevu A
 +
 
 +
<ref name="BUDÍKOVÁ"/>
 +
<ref name="KÖNIGOVÁ, Marie." />
 +
<ref name="CALDA, Emil a Václav DUPAČ." />
 
===Závislé a nezávislé jevy ===
 
===Závislé a nezávislé jevy ===
−
== Matematické znaky ==
+
=== Matematické znaky ===
 
{| class="wikitable"
 
{| class="wikitable"
 
|-
 
|-
Řádek 56: Řádek 137:
 
|-
 
|-
 
| A || jev A, jevy se označují velkými písmeny
 
| A || jev A, jevy se označují velkými písmeny
 +
|-
 +
| A´|| jev opačný jevu A
 
|-
 
|-
 
| P (A) || pravděpodobnost jevu A
 
| P (A) || pravděpodobnost jevu A
Řádek 80: Řádek 163:
 
|-
 
|-
 
| S || pravděpodobnostní prostor
 
| S || pravděpodobnostní prostor
−
|}<ref name>="BUDÍKOVÁ, Marie, Maria KRÁLOVÁ a Bohumil MAROŠ. Průvodce základními statistickými metodami. 1. vyd. Praha: Grada, 2010, s. 54-54. Expert (Grada). ISBN 978-80-247-3243-5."></ref><ref name>="CALDA, Emil a Václav DUPAČ. Matematika pro gymnázia: kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. 4. upr. vyd. Praha: Prometheus"></ref><br />
+
|}
 +
<ref name="BUDÍKOVÁ" />
 +
<ref name="CALDA, Emil a Václav DUPAČ." />
 +
 
 +
== Zdroje ==
 +
 
 +
=== Reference ===
  
 
<references/>
 
<references/>
 +
 +
=== Související články ===
 +
 +
* [[Úplná pravděpodobnost]]
 +
* [[Bayesův vzorec]]
 +
* [[Statistika]]
 +
 +
[[Kategorie:Informační studia a knihovnictví]]
 +
[[Kategorie:Státnicové otázky UISK]]
 +
[[Kategorie:Články k ověření učitelem Souček J]]

Aktuální verze z 5. 4. 2017, 10:55

Pravděpodobnost jevu

Pravděpodobnost jevu je podle Laplaceovy definice poměrem počtu případů příznivých k počtu případů možných bez realizace experimentu. Jinými slovy zjišťujeme jakou máme šanci, že daný jev nastane.

Výsledek uvádíme v procentech nebo v intervalu <0,1>. Přičemž 1 znamená výsledek jistý a 0 nemožný. Uskutečníme-li pokus, pak počítáme relativní četnost

Získané znalosti můžeme využít například ve statistice při rozhodování či Hazardní hry (glosář RJ) [1][2]

Výsledky náhodného pokusu musí splňovat podmínky: náhodná veličina

  • nemohou padnout dva výsledky současně
  • jeden z výsledků nastane vždy
  • každý výsledek je stejně možný

př. Hod kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že padne číslo 2
Ω={1,2,3,4,5,6}
A={2}
m=6
m(A)=1

Pravděpodobnost, že na hrací kostce padne číslo 2, je

Podmíněná pravděpodobnost

Uvažujme pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) a jev B ϵ A, který má nenulovou pravděpodobnost.

Podmíněná pravděpodobnost jevu A za předpokladu, že nastal jev B, je definován vztahem

Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A∩B)}{P(B)}}

př. Hod hrací kostkou

Ω={1,2,3,4,5,6} A={1,2,3}
B={2,4,6}
A ∩ B = 2
Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P (A ∩ B)=\frac{1}{6}} (z 6 možných se sejdou 1krát)



Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A∩B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{6}}=\frac{1}{6}.\frac{6}{3}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}}
Pravděpodobnost, že nastane jev B i A současně je
[3] [2] [1]

Jevy

Jevy jsou podmnožiny množiny všech možných výsledků.
Označují se velkými písmeny A, B, C atd.
[3]

Pravděpodobnost náhodného jevu

Pravděpodobnost náhodného jevu A je množinová funkce, která náhodnému jevu A z pole náhodných jevů přiřadí nezáporné číslo, jež označujeme P(A)
[1]

Stochasticky závislé a nezávislé jevy

Nastalé jevy jsou nezávislé, pokud nastoupení jednoho neovlivní pravděpodobnost, s ní při témže pokusu očekáváme nastoupení jiného jevu.
Náhodné jevy A a B jsou na sobě nezávislé, právě když platí:
Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P(A∩B)=P(A).P(B)} přičemž A, B ∈ S
V případě tří náhodných jevů platí, že pravděpodobnosti průniků nezávislých jevů jsou rovny součinu jejich pravděpodobností: Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P(A∩B)=P(A).P(B),P(A∩C)=P(A).P(C),P(B∩C)=P(B).P(C)}
a navíc Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(A∩B∩C)=P(A).P(B).P(C) }

Jsou-li A, B nezávislé jevy, pak jsou i A, B´ a A´,B a A´,B´nezávislé.

př. Hod hrací kostkou
Ω={1,2,3,4,5,6}
m=6
A={3,4,5}
B={2,3}
C={1,3,5}

A ∩ B = {3}
P(A ∩ B)
B ∩ C = {3}
P(B ∩ C)
A ∩ C = {3,5}
P(A ∩ C)




Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P(A/B)=\frac{A∩B}{P(B)}}


Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P(A/C)=\frac{A∩C}{P(A)}}


Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P(B/A)=\frac{A∩B}{P(A)}}


Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P(B/C)=\frac{B∩C}{P(C)}}


Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P(C/B)=\frac{C∩B}{P(C)}}


Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P(C/A)=\frac{A∩C}{P(C)}}


Jsou jevy závislé či nezávislé?

Jev A na jevu B
jev A je nezávislý na jevu B

Jev A na jevu C Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(A)=P(A/C),\frac{1}{2}≠\frac{2}{3}}
jev A je závislý na jevu C

Jev B na jevu A
jev B je nezávislý na jevu A

Jev B na jevu C
jev B je nezávislý na jevu C

Jev C na jevu B
jev C je nezávislý na jevu B

Jev C na jevu A Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P(C)=P(C/A),\frac{1}{2}≠\frac{2}{3}}
jev C je závislý na jevu A

[3] [1] [2]

Závislé a nezávislé jevy

Matematické znaky

Znak Popis
P pravděpodobnost
A jev A, jevy se označují velkými písmeny
A´ jev opačný jevu A
P (A) pravděpodobnost jevu A
ω jednotlivé možné výsledky
Ω množina všech možných výsledků náhodného pokusu
m počet všech možných výsledků
A ∩ B průnik jevů A a B
⊂ vlastní podmnožina
A ⊆ B každý prvek A je zároveň prvkem B
∈ je prvkem množiny
ω ∈ A výsledek příznivý jevu A
∉ není prvkem množiny
Ø prázdná množina, jev nemožný
S pravděpodobnostní prostor

[3] [2]

Zdroje

Reference

  1. ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 KÖNIGOVÁ, Marie.Matematické a statistické metody v informatice: celostátní vysokoškolská učebnice pro stud. obor věd. inf. a knihovnictví. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1988, 189 s. Učebnice pro vysoké školy (Státní pedagogické nakladatelství.
  2. ↑ 2,0 2,1 2,2 2,3 CALDA, Emil a Václav DUPAČ. Matematika pro gymnázia: kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. 4. upr. vyd. Praha: Prometheus, 1999, s. 80-127. Učebnice pro střední školy. ISBN 80-7196-147-7.
  3. ↑ 3,0 3,1 3,2 3,3 BUDÍKOVÁ, Marie, Maria KRÁLOVÁ a Bohumil MAROŠ. Průvodce základními statistickými metodami. 1. vyd. Praha: Grada, 2010, s. 54-54. Expert (Grada). ISBN 978-80-247-3243-5.

Související články

Citováno z „https://wikisofia.cz/w/index.php?title=Podmíněná_pravděpodobnost_a_závislé_a_nezávislé_jevy&oldid=47009“