Podmíněná pravděpodobnost a závislé a nezávislé jevy: Porovnání verzí
m |
m |
||
| Řádek 9: | Řádek 9: | ||
* nemohou padnout dva výsledky současně | * nemohou padnout dva výsledky současně | ||
* jeden z výsledků nastane vždy | * jeden z výsledků nastane vždy | ||
| − | * každý výsledek je stejně možný | + | * každý výsledek je stejně možný<br /> |
| + | př. Hod kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že padne číslo 2<br /> | ||
| + | Ω={1,2,3,4,5,6}<br /> | ||
| + | A={2}<br /><br /> | ||
| + | m=6 | ||
| + | m(A)=1 | ||
| + | <math>P(A)=\frac{m(A)}{m}=\frac{1}{6}</math><br /> | ||
== Podmíněná pravděpodobnost == | == Podmíněná pravděpodobnost == | ||
Uvažujme pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) a jev B ϵ A, který má nenulovou pravděpodobnost. Podmíněná pravděpodobnost jevu A za předpokladu, že nastal jev B, je definován vztahem | Uvažujme pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) a jev B ϵ A, který má nenulovou pravděpodobnost. Podmíněná pravděpodobnost jevu A za předpokladu, že nastal jev B, je definován vztahem | ||
'''<math>P(A|B)=\frac{P(A∩B)}{P(B)}</math><br />'''<br /> | '''<math>P(A|B)=\frac{P(A∩B)}{P(B)}</math><br />'''<br /> | ||
př. Hod hrací kostkou<br /> | př. Hod hrací kostkou<br /> | ||
| − | Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}<br /> | + | Ω={1,2,3,4,5,6}<br /> |
| − | A={1, 2, 3}<br /> | + | A={1,2,3}<br /> |
| − | B={2, 4, 6}<br /> | + | B={2,4,6}<br /> |
A ∩ B = 2<br /> | A ∩ B = 2<br /> | ||
| − | |||
<math>P (A ∩ B)=\frac{1}{6}</math>(z 6 možných se sejdou 1krát)<br /> | <math>P (A ∩ B)=\frac{1}{6}</math>(z 6 možných se sejdou 1krát)<br /> | ||
<math>P(A)=\frac{3}{6}</math><br /> | <math>P(A)=\frac{3}{6}</math><br /> | ||
<math>P(B)=\frac{3}{6}</math><br /> | <math>P(B)=\frac{3}{6}</math><br /> | ||
| − | |||
| − | |||
'''<math>P(A|B)=\frac{P(A∩B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{6}}=\frac{1}{6}.\frac{6}{3}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}</math><br />''' | '''<math>P(A|B)=\frac{P(A∩B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{6}}=\frac{1}{6}.\frac{6}{3}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}</math><br />''' | ||
| Řádek 33: | Řádek 36: | ||
===Závislé a nezávislé jevy === | ===Závislé a nezávislé jevy === | ||
Nastalé jevy jsou nezávislé, pokud nastoupení jednoho neovlivní pravděpodobnost, s ní při témže pokusu očekáváme nastoupení jiného jevu.<br /> | Nastalé jevy jsou nezávislé, pokud nastoupení jednoho neovlivní pravděpodobnost, s ní při témže pokusu očekáváme nastoupení jiného jevu.<br /> | ||
| − | Náhodné jevy A a B jsou nezávislé, právě když platí: '''<math>P(A∩B)=P(A).P(B)</math>''' přičemž A, B ∈ S <ref name>="BUDÍKOVÁ, Marie, Maria KRÁLOVÁ a Bohumil MAROŠ. Průvodce základními statistickými metodami. 1. vyd. Praha: Grada"></ref><ref name>="KÖNIGOVÁ, Marie. Matematické a statistické metody v informatice: celostátní vysokoškolská učebnice pro stud. obor věd. inf. a knihovnictví. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství"></ref> | + | Náhodné jevy A a B jsou nezávislé, právě když platí: '''<math>P(A∩B)=P(A).P(B)</math>''' přičemž A, B ∈ S <ref name>="BUDÍKOVÁ, Marie, Maria KRÁLOVÁ a Bohumil MAROŠ. Průvodce základními statistickými metodami. 1. vyd. Praha: Grada"></ref> <ref name>="KÖNIGOVÁ, Marie. Matematické a statistické metody v informatice: celostátní vysokoškolská učebnice pro stud. obor věd. inf. a knihovnictví. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství"></ref><br /> |
| − | <br /> | ||
== Matematické znaky == | == Matematické znaky == | ||
{| class="wikitable" | {| class="wikitable" | ||
| Řádek 49: | Řádek 51: | ||
|- | |- | ||
| Ω|| množina všech možných výsledků náhodného pokusu | | Ω|| množina všech možných výsledků náhodného pokusu | ||
| + | |- | ||
| + | | m || počet všech možných výsledků | ||
|- | |- | ||
| A ∩ B|| průnik jevů A a B | | A ∩ B|| průnik jevů A a B | ||
| Řádek 65: | Řádek 69: | ||
|- | |- | ||
| S || pravděpodobnostní prostor | | S || pravděpodobnostní prostor | ||
| − | |}<ref>="BUDÍKOVÁ, Marie, Maria KRÁLOVÁ a Bohumil MAROŠ. Průvodce základními statistickými metodami. 1. vyd. Praha: Grada, 2010, s. 54-54. Expert (Grada). ISBN 978-80-247-3243-5."></ref> | + | |}<ref>="BUDÍKOVÁ, Marie, Maria KRÁLOVÁ a Bohumil MAROŠ. Průvodce základními statistickými metodami. 1. vyd. Praha: Grada, 2010, s. 54-54. Expert (Grada). ISBN 978-80-247-3243-5."></ref><ref name>="CALDA, Emil a Václav DUPAČ. Matematika pro gymnázia: kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. 4. upr. vyd. Praha: Prometheus"></ref><br /> |
| − | <br /> | ||
<references/> | <references/> | ||
Verze z 12. 8. 2015, 08:26
Obsah
Pravděpodobnost jevu
Pravděpodobnost jevu je podle Laplaceovy definice poměrem počtu případů příznivých k počtu případů možných bez realizace experimentu.
Jinými slovy zjišťujeme jakou máme šanci, že daný jev nastane.
Výsledek uvádíme v procentech nebo v intervalu <0,1>. Přičemž 1 znamená výsledek jistý a 0 nemožný.
Uskutečníme-li pokus, pak počítáme relativní četnost
[1]
[2]
Výsledky náhodného pokusu musí splňovat podmínky:
- nemohou padnout dva výsledky současně
- jeden z výsledků nastane vždy
- každý výsledek je stejně možný
př. Hod kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že padne číslo 2
Ω={1,2,3,4,5,6}
A={2}
m=6
m(A)=1
Podmíněná pravděpodobnost
Uvažujme pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) a jev B ϵ A, který má nenulovou pravděpodobnost. Podmíněná pravděpodobnost jevu A za předpokladu, že nastal jev B, je definován vztahem
Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A∩B)}{P(B)}}
př. Hod hrací kostkou
Ω={1,2,3,4,5,6}
A={1,2,3}
B={2,4,6}
A ∩ B = 2
Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P (A ∩ B)=\frac{1}{6}}
(z 6 možných se sejdou 1krát)
Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A∩B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{6}}=\frac{1}{6}.\frac{6}{3}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}}
Jevy
Jevy jsou podmnožiny množiny všech možných výsledků.
Označují se velkými písmeny A, B, C atd.
Pravděpodobnost náhodného jevu
Pravděpodobnost náhodného jevu A je množinová funkce, která náhodnému jevu A z pole náhodných jevů přiřadí nezáporné číslo, jež označujeme P(A)[3]
Závislé a nezávislé jevy
Nastalé jevy jsou nezávislé, pokud nastoupení jednoho neovlivní pravděpodobnost, s ní při témže pokusu očekáváme nastoupení jiného jevu.
Náhodné jevy A a B jsou nezávislé, právě když platí: Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P(A∩B)=P(A).P(B)}
přičemž A, B ∈ S [3] [3]
Matematické znaky
| Znak | Popis |
|---|---|
| P | pravděpodobnost |
| A | jev A, jevy se označují velkými písmeny |
| P (A) | pravděpodobnost jevu A |
| ω | jednotlivé možné výsledky |
| Ω | množina všech možných výsledků náhodného pokusu |
| m | počet všech možných výsledků |
| A ∩ B | průnik jevů A a B |
| ⊂ | vlastní podmnožina |
| A ⊆ B | každý prvek A je zároveň prvkem B |
| ∈ | je prvkem množiny |
| ω ∈ A | výsledek příznivý jevu A |
| ∉ | není prvkem množiny |
| Ø | prázdná množina, jev nemožný |
| S | pravděpodobnostní prostor |
- ↑ ="KÖNIGOVÁ, Marie. Matematické a statistické metody v informatice: celostátní vysokoškolská učebnice pro stud. obor věd. inf. a knihovnictví. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1988, 100-101 s. Učebnice pro vysoké školy (Státní pedagogické nakladatelství)">
- ↑ ="CALDA, Emil a Václav DUPAČ. Matematika pro gymnázia: kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. 4. upr. vyd. Praha: Prometheus, 1999, s. 80-127. Učebnice pro střední školy. ISBN 80-7196-147-7.">
- ↑ 3,0 3,1 3,2 3,3 ="KÖNIGOVÁ, Marie. Matematické a statistické metody v informatice: celostátní vysokoškolská učebnice pro stud. obor věd. inf. a knihovnictví. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství"> Chybná citace: Neplatná značka
<ref>; název „“ použit vícekrát s různým obsahem Chybná citace: Neplatná značka<ref>; název „“ použit vícekrát s různým obsahem Chybná citace: Neplatná značka<ref>; název „“ použit vícekrát s různým obsahem - ↑ ="BUDÍKOVÁ, Marie, Maria KRÁLOVÁ a Bohumil MAROŠ. Průvodce základními statistickými metodami. 1. vyd. Praha: Grada, 2010, s. 54-54. Expert (Grada). ISBN 978-80-247-3243-5.">
Text je dostupný pod licencí Creative Commons Uveďte autora 3.0 Česko při dodržení případných autorských práv a dalších podmínek
© 2013 ISSN: 2336-5897
