Podmíněná pravděpodobnost a závislé a nezávislé jevy: Porovnání verzí

m
m
Řádek 14: Řádek 14:
 
A={2}<br />
 
A={2}<br />
 
m=6<br />
 
m=6<br />
−
m(A)=1<br /><br />
+
m(A)=1<br /><br /><math>P(A)=\frac{m(A)}{m}=\frac{1}{6}</math><br />Pravděpodobnost, že na hrací kostce padne číslo 2, je <math>\frac{1}{6}</math>
−
<math>P(A)=\frac{m(A)}{m}=\frac{1}{6}</math><br />
 
−
Pravděpodobnost, že na hrací kostce padne číslo 2, je <math>\frac{1}{6}</math>
 
 
== Podmíněná pravděpodobnost ==
 
== Podmíněná pravděpodobnost ==
 
Uvažujme pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) a jev B ϵ A, který má nenulovou pravděpodobnost.<br />
 
Uvažujme pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) a jev B ϵ A, který má nenulovou pravděpodobnost.<br />
 
Podmíněná pravděpodobnost jevu A za předpokladu, že nastal jev B, je definován vztahem<br />
 
Podmíněná pravděpodobnost jevu A za předpokladu, že nastal jev B, je definován vztahem<br />
−
'''<math>P(A|B)=\frac{P(A∩B)}{P(B)}</math><br />'''
+
<math>P(A|B)=\frac{P(A∩B)}{P(B)}</math><br />
 
př. Hod hrací kostkou<br />
 
př. Hod hrací kostkou<br />
 
Ω={1,2,3,4,5,6}<br />
 
Ω={1,2,3,4,5,6}<br />
Řádek 29: Řádek 27:
 
<math>P(A)=\frac{3}{6}</math><br />
 
<math>P(A)=\frac{3}{6}</math><br />
 
<math>P(B)=\frac{3}{6}</math><br /><br />
 
<math>P(B)=\frac{3}{6}</math><br /><br />
−
'''<math>P(A|B)=\frac{P(A∩B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{6}}=\frac{1}{6}.\frac{6}{3}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}</math><br />'''
+
<math>P(A|B)=\frac{P(A∩B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{6}}=\frac{1}{6}.\frac{6}{3}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}</math><br />
 
Pravděpodobnost, že nastane jev B i A současně je <math>\frac{1}{3}</math><br />
 
Pravděpodobnost, že nastane jev B i A současně je <math>\frac{1}{3}</math><br />
 
== Jevy ==
 
== Jevy ==
Řádek 45: Řádek 43:
 
<math>a navíc P(A∩B∩C)=P(A).P(B).P(C) </math>
 
<math>a navíc P(A∩B∩C)=P(A).P(B).P(C) </math>
  
 +
<ref name>="KÖNIGOVÁ, Marie. Matematické a statistické metody v informatice: celostátní vysokoškolská učebnice pro stud. obor věd. inf. a knihovnictví. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství"></ref>
 
<ref>="BUDÍKOVÁ, Marie, Maria KRÁLOVÁ a Bohumil MAROŠ. Průvodce základními statistickými metodami. 1. vyd. Praha: Grada, 2010, s. 54-54. Expert (Grada). ISBN 978-80-247-3243-5."></ref>
 
<ref>="BUDÍKOVÁ, Marie, Maria KRÁLOVÁ a Bohumil MAROŠ. Průvodce základními statistickými metodami. 1. vyd. Praha: Grada, 2010, s. 54-54. Expert (Grada). ISBN 978-80-247-3243-5."></ref>
−
<ref name>="KÖNIGOVÁ, Marie. Matematické a statistické metody v informatice: celostátní vysokoškolská učebnice pro stud. obor věd. inf. a knihovnictví. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství"></ref></ref><ref name>="CALDA, Emil a Václav DUPAČ. Matematika pro gymnázia: kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. 4. upr. vyd. Praha: Prometheus"></ref>
+
<ref name>="CALDA, Emil a Václav DUPAČ. Matematika pro gymnázia: kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. 4. upr. vyd. Praha: Prometheus"></ref>
 
===Závislé a nezávislé jevy ===
 
===Závislé a nezávislé jevy ===
 
== Matematické znaky ==
 
== Matematické znaky ==
Řádek 80: Řádek 79:
 
|-
 
|-
 
| S || pravděpodobnostní prostor
 
| S || pravděpodobnostní prostor
−
|}<ref name>="BUDÍKOVÁ, Marie, Maria KRÁLOVÁ a Bohumil MAROŠ. Průvodce základními statistickými metodami. 1. vyd. Praha: Grada, 2010, s. 54-54. Expert (Grada). ISBN 978-80-247-3243-5."></ref><ref name>="CALDA, Emil a Václav DUPAČ. Matematika pro gymnázia: kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. 4. upr. vyd. Praha: Prometheus"></ref><br />
+
|}<ref name>="BUDÍKOVÁ, Marie, Maria KRÁLOVÁ a Bohumil MAROŠ. Průvodce základními statistickými metodami. 1. vyd. Praha: Grada, 2010, s. 54-54. Expert (Grada). ISBN 978-80-247-3243-5."></ref>
 +
<ref name>="CALDA, Emil a Václav DUPAČ. Matematika pro gymnázia: kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. 4. upr. vyd. Praha: Prometheus"></ref><br />
  
 
<references/>
 
<references/>

Verze z 18. 8. 2015, 06:57

Pravděpodobnost jevu

Pravděpodobnost jevu je podle Laplaceovy definice poměrem počtu případů příznivých k počtu případů možných bez realizace experimentu.
Jinými slovy zjišťujeme jakou máme šanci, že daný jev nastane.

Výsledek uvádíme v procentech nebo v intervalu <0,1>. Přičemž 1 znamená výsledek jistý a 0 nemožný.
Uskutečníme-li pokus, pak počítáme relativní četnost
[1][2]

Výsledky náhodného pokusu musí splňovat podmínky:

  • nemohou padnout dva výsledky současně
  • jeden z výsledků nastane vždy
  • každý výsledek je stejně možný

př. Hod kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že padne číslo 2
Ω={1,2,3,4,5,6}
A={2}
m=6
m(A)=1


Pravděpodobnost, že na hrací kostce padne číslo 2, je

Podmíněná pravděpodobnost

Uvažujme pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) a jev B ϵ A, který má nenulovou pravděpodobnost.
Podmíněná pravděpodobnost jevu A za předpokladu, že nastal jev B, je definován vztahem
Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A∩B)}{P(B)}}
př. Hod hrací kostkou
Ω={1,2,3,4,5,6}
A={1,2,3}
B={2,4,6}
A ∩ B = 2
Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P (A ∩ B)=\frac{1}{6}} (z 6 možných se sejdou 1krát)



Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A∩B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{6}}=\frac{1}{6}.\frac{6}{3}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}}
Pravděpodobnost, že nastane jev B i A současně je

Jevy

Jevy jsou podmnožiny množiny všech možných výsledků.
Označují se velkými písmeny A, B, C atd.

Pravděpodobnost náhodného jevu

Pravděpodobnost náhodného jevu A je množinová funkce, která náhodnému jevu A z pole náhodných jevů přiřadí nezáporné číslo, jež označujeme P(A)
[3]

Závislé a nezávislé jevy

Nastalé jevy jsou nezávislé, pokud nastoupení jednoho neovlivní pravděpodobnost, s ní při témže pokusu očekáváme nastoupení jiného jevu.
Náhodné jevy A a B jsou na sobě nezávislé, právě když platí:
Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P(A∩B)=P(A).P(B)} přičemž A, B ∈ S
V případě tří náhodných jevů platí, že pravděpodobnosti průniků nezávislých jevů jsou rovny součinu jejich pravděpodobností: Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle P(A∩B)=P(A).P(B),P(A∩C)=P(A).P(C),P(B∩C)=P(B).P(C)}
Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle a navíc P(A∩B∩C)=P(A).P(B).P(C) }

[3] [4] [3]

Závislé a nezávislé jevy

Matematické znaky

Znak Popis
P pravděpodobnost
A jev A, jevy se označují velkými písmeny
P (A) pravděpodobnost jevu A
ω jednotlivé možné výsledky
Ω množina všech možných výsledků náhodného pokusu
m počet všech možných výsledků
A ∩ B průnik jevů A a B
⊂ vlastní podmnožina
A ⊆ B každý prvek A je zároveň prvkem B
∈ je prvkem množiny
ω ∈ A výsledek příznivý jevu A
∉ není prvkem množiny
Ø prázdná množina, jev nemožný
S pravděpodobnostní prostor

[3]

[3]

  1. ↑ ="KÖNIGOVÁ, Marie. Matematické a statistické metody v informatice: celostátní vysokoškolská učebnice pro stud. obor věd. inf. a knihovnictví. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1988, 100-101 s. Učebnice pro vysoké školy (Státní pedagogické nakladatelství)">
  2. ↑ ="CALDA, Emil a Václav DUPAČ. Matematika pro gymnázia: kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. 4. upr. vyd. Praha: Prometheus, 1999, s. 80-127. Učebnice pro střední školy. ISBN 80-7196-147-7.">
  3. ↑ 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 ="KÖNIGOVÁ, Marie. Matematické a statistické metody v informatice: celostátní vysokoškolská učebnice pro stud. obor věd. inf. a knihovnictví. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství"> Chybná citace: Neplatná značka <ref>; název „“ použit vícekrát s různým obsahem Chybná citace: Neplatná značka <ref>; název „“ použit vícekrát s různým obsahem Chybná citace: Neplatná značka <ref>; název „“ použit vícekrát s různým obsahem
  4. ↑ ="BUDÍKOVÁ, Marie, Maria KRÁLOVÁ a Bohumil MAROŠ. Průvodce základními statistickými metodami. 1. vyd. Praha: Grada, 2010, s. 54-54. Expert (Grada). ISBN 978-80-247-3243-5.">
Citováno z „https://wikisofia.cz/w/index.php?title=Podmíněná_pravděpodobnost_a_závislé_a_nezávislé_jevy&oldid=21992“