Definice syntaxe a sémantiky Predikátové logiky: Porovnání verzí

m
Řádek 1: Řádek 1:
−
===Predikátová logika nebo-li predikátová logika prvního řádu===
+
== Predikátová logika ==
−
Výroková logika se zabývala pravdivostí jednoduchých tvrzení, která byla spojena logickými operátory (spojkami). Predikátová logika toto trochu rozšiřuje, neboť zkoumá vlastnosti a vztahy prvků daných množin. Pomůže lepšímu a přesnějšímu vyjádření vztahu. Jinými slovy si všímá  i struktury vět samotných.<ref>[http://lucie.zolta.cz/index.php/zaklady-teoreticke-informatiky/19-rezolucni-metoda-a-logicke-programovani/136-predikatova-logika] </ref>
+
Výroková logika se zabývala pravdivostí jednoduchých tvrzení, která byla spojena logickými operátory (spojkami). Predikátová logika toto trochu rozšiřuje, neboť zkoumá vlastnosti a vztahy prvků daných množin. Jinými slovy si všímá  i struktury vět samotných a obsahuje '''predikáty''' a '''kvantifikátory'''. Rozlišuje individua, o kterých se něco predikuje (tvrdí) a predikát je chápán jako vlastnost nebo vztah.
  
−
Predikátová logika je složena ze dvou klíčových částí '''[[Syntaxe|syntax]]''' a '''[[sémantika]]'''. Syntax určuje, jaké kolekce (posloupnosti) symbolů jsou legální výrazy predikátové logiky a  sémantika hovoří o významu za těmito výrazy.
 
  
−
===Syntax výrokové logiky===
+
<ref>[http://lucie.zolta.cz/index.php/zaklady-teoreticke-informatiky/19-rezolucni-metoda-a-logicke-programovani/136-predikatova-logika] </ref>
−
Základem každého jazyka je množina symbolů, kterými tento jazyk disponuje, neboli jeho abeceda.Stejně jako ve výrokové logice musí jazyk predikátové logiky obsahovat symboly označující proměnné. Syntax nebo-li jazyk predikátové logiky se skládá z predikátů, proměnných, konstant, relačních a funkčních symbolů, , kvantifikátorů, termů, atomických formulí a predikátových formulí.
 
  
  
−
'''Abeceda je složena z:'''
+
== Syntax výrokové logiky ==
 +
Syntax nebo-li jazyk predikátové logiky se skládá z proměnných, konstant, relačních a funkčních symbolů, predikátů, kvantifikátorů, termů, atomických formulí a predikátových formulí.
  
−
<u>1. logických symbolů</u>
+
'''Proměnné'''
 +
Proměnných je neomezeně mnoho. Označují se malými písmenky x,y,z,x1,y1....Jedná se o klasické chápání proměnných z nižší matematiky.
  
−
a) početné množiny individuálních proměnných: x,y,...,x1,x2,... 
+
Symboly pro relace
  
−
b) výrokových logických spojek: ¬,∧,∨,⇒,⇔
+
Každý symbol pro relace má přiřazenu aritu (četnost, čili počet operandů). Hodnota arity představuje počet operandů (tj. kolika operandů se funkční operace, vlastnost nebo vztah týká). Operátory s jedním operandem nazýváme unární, operátory se dvěma operandy binární, se třemi ternární, atd.
  
−
c) obecného kvantifikátoru (každý)  ∀ a existenčního kvantifikátoru (některý) ∃
+
Symboly pro relace lze rozdělit na:
  
−
<u>2. speciálních symbolů</u>
+
'''funkční (operace)'''
 +
Vyjadřují operace s objekty daného oboru. Operace mohou být sčítání, násobení aj. Funkční operace mají svojí "aritu", která je nezáporná. Hodnota arity představuje počet operandů (tj. kolika operandů se funkční operace týká). Operátory s jedním operandem nazýváme unární, operátory se dvěma operandy binární, se třemi ternární, atd.
  
−
a) množiny P predikátových symbolů (nesmí být prázdná)
+
'''predikátové (vztahy a vlastnosti)'''
  
−
b) množiny K konstantních symbolů (může být prázdná)
+
Predikáty se označují predikátovými symboly a vypovídají o vlastnostech a vztazích mezi předměty určeného universa.Stejně jako funkční symboly, mají svoji aritu. Arita predikátových symbolů je vždy menší nebo rovna jedné. Unární predikáty popisují vlastnost, predikáty vyšší arity pak popisují vztahy (ve vztahu je vždy zapotřebí minimálně 2).
  
−
c) množiny F funkčních symbolů (může být prázdná)
+
Příklady predikátů:
 +
vlastnost "být kladným číslem"
 +
vztah "být větší než"
  
−
<u>3. pomocných symbolů</u> jako jsou závorky „(, [ ,) ,]􏰀" a čárka ","
+
Termy
  
  
−
Pro každý symbol máme dáno přirozené číslo "n" větší nebo rovno 1. Toto číslo nám udává, kolika objektů se daný predikát týká, pro kolik proměnných je funkční symbol dán. Tomuto číslu říkáme četnost nebo též '''arita predikátového symbolu''' (stručně predikát)nebo funkčního symbolu.
 
  
−
Predikáty arity 1 jsou zvány monadické predikáty, predikáty arity 2 jsou binární predikátypredikáty arity n jsou n-ární (polyadické) predikáty.
 
  
−
<br />
+
=== Predikáty ===
 +
Jsou nositeli vlastností objektu u kterého jsou uvedeny tj. vypovídají o vlastnostech mezi předměty určeného universa.
  
−
===='''FORMULE''' 1, je-li výraz A formule, pak (¬)A je formule. ====
+
příklady:
−
2, jsou-li výrazy A a B formule, pak výrazy  (A ∧ B), (A ∨ B), (A ⇒ B), (A ⇔ B) jsou formule.<br>
 
  
−
3, je-li x proměnná a A formule, pak výrazy ∀xA a ∃xA jsou formule
+
Výrok Praha je krásné  město.
 +
Stanovíme si, že s vlastností "být krásným městem" spojíme predikát "K" a jako symbol pro Prahu určíme "p", větu pak formálně zapíšeme takto: ''K(p)''
  
−
 
+
Martin má rád Jitku
−
4, nic jiného není formule
+
Obdobně jako v předchozím příkladu označíme Martina symbolem "m" a Jitku "j". Binární predikát (tedy vlastnost) označíme symbolem "R" . Celou větu pak zapíšeme jako R(m,j)
−
 
 
−
<br>'''Atomické formule''' je-li P n-ární predikátový symbol a jsou-li t1,...,tn termy, pak výraz P(t1,...,tn) je atomická formule.
 
−
 
 
−
Každá atomická formule je formule.
 
−
 
 
−
===='''TERMY'''====
 
−
 
 
−
Základní stavební prvky formulí. Intuitivně představují objekty, individua.
 
−
 
 
−
# každý symbol proměnné x, y, ... je term.
 
−
# jsou-li t1,...,tn (n  0) termy a je-li f n-ární funkční symbol, pak výraz '''f(t1,...,tn)''' je  term;  pro n = 0 se jedná o individuovou konstantu (značíme a, b, c, ...).
 
−
# jen výrazy dle 1. a 2. jsou termy
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
'''Příklady převedení z přirozeného jazyka:'''
 
−
 
 
−
# Někdo má hudební sluch (S) a někdo nemá hudební sluch. (∃x S(x)) ∧ (∃x ¬S(x))
 
−
# Některé děti (D) nerady čokoládu (C).  ∃x (D(x) ∧ ¬C(x))
 
−
 
 
−
<br /><references />
 

Verze z 1. 5. 2020, 11:59

Predikátová logika

Výroková logika se zabývala pravdivostí jednoduchých tvrzení, která byla spojena logickými operátory (spojkami). Predikátová logika toto trochu rozšiřuje, neboť zkoumá vlastnosti a vztahy prvků daných množin. Jinými slovy si všímá i struktury vět samotných a obsahuje predikáty a kvantifikátory. Rozlišuje individua, o kterých se něco predikuje (tvrdí) a predikát je chápán jako vlastnost nebo vztah. 


[1]


Syntax výrokové logiky

Syntax nebo-li jazyk predikátové logiky se skládá z proměnných, konstant, relačních a funkčních symbolů, predikátů, kvantifikátorů, termů, atomických formulí a predikátových formulí.

Proměnné Proměnných je neomezeně mnoho. Označují se malými písmenky x,y,z,x1,y1....Jedná se o klasické chápání proměnných z nižší matematiky.

Symboly pro relace

Každý symbol pro relace má přiřazenu aritu (četnost, čili počet operandů). Hodnota arity představuje počet operandů (tj. kolika operandů se funkční operace, vlastnost nebo vztah týká). Operátory s jedním operandem nazýváme unární, operátory se dvěma operandy binární, se třemi ternární, atd.

Symboly pro relace lze rozdělit na:

funkční (operace) Vyjadřují operace s objekty daného oboru. Operace mohou být sčítání, násobení aj. Funkční operace mají svojí "aritu", která je nezáporná. Hodnota arity představuje počet operandů (tj. kolika operandů se funkční operace týká). Operátory s jedním operandem nazýváme unární, operátory se dvěma operandy binární, se třemi ternární, atd.

predikátové (vztahy a vlastnosti)

Predikáty se označují predikátovými symboly a vypovídají o vlastnostech a vztazích mezi předměty určeného universa.Stejně jako funkční symboly, mají svoji aritu. Arita predikátových symbolů je vždy menší nebo rovna jedné. Unární predikáty popisují vlastnost, predikáty vyšší arity pak popisují vztahy (ve vztahu je vždy zapotřebí minimálně 2).

Příklady predikátů: vlastnost "být kladným číslem" vztah "být větší než"

Termy



Predikáty

Jsou nositeli vlastností objektu u kterého jsou uvedeny tj. vypovídají o vlastnostech mezi předměty určeného universa.

příklady:

Výrok Praha je krásné město. Stanovíme si, že s vlastností "být krásným městem" spojíme predikát "K" a jako symbol pro Prahu určíme "p", větu pak formálně zapíšeme takto: K(p)

Martin má rád Jitku

Obdobně jako v předchozím příkladu označíme Martina symbolem "m" a Jitku "j". Binární predikát (tedy vlastnost) označíme symbolem "R" . Celou větu pak zapíšeme jako R(m,j)

  1. ↑ [1]
Citováno z „https://wikisofia.cz/w/index.php?title=Definice_syntaxe_a_sémantiky_Predikátové_logiky&oldid=59929“