Lindenbaum-Tarského algebry: Porovnání verzí

Verze z 15. 11. 2014, 03:34

Lindenbaum - Tarského algebra je speciální Booleova algebra na množině formulí klasické predikátové logiky

Obsah

1 Konstrukce
- 1.1 Spočetný průsek a sjednocení
- 1.2 Uspořádání na B(T)
2 Definice
3 Vlastnosti
- 3.1 ${\mathcal {L}}_{n}(P,{\mathfrak {A}})$
4 Odkazy

Konstrukce

Uvažme $\varphi ,\psi \in {\mathit {Form_{L}}}$ , kde ${\mathit {Form_{L}}}$ je množina všech prvořádových formulí predikátové logiky v jazyce L, a teorii $T\subseteq {\mathit {Form_{L}}}$ . Pro každou takovouto teorii můžeme definovat ekvivalenci $\equiv _{T}$ následovně:

$\varphi \equiv _{T}\psi \Leftrightarrow T\vdash \varphi \leftrightarrow \psi$

Označme nyní $[\varphi ]_{\equiv _{T}}$ ekvivalenční třídu pro $\varphi$ a uvažme $B(T)=\{[\varphi ]_{\equiv _{T}}|\varphi \in {\mathit {Form_{L}}}\}$ na níž definujme operace $\wedge$ (průsek), $\vee$ (sjednocení), $-$ (komplement) a prvky ${\textbf {1}}$ (maximální prvek), ${\textbf {0}}$ (minimální prvek) takto:

Nelze pochopit (MathML, alternativně SVG nebo PNG (doporučeno pro moderní prohlížeče a kompenzační pomůcky): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align*} [\varphi]_{\equiv_T} \wedge [\psi]_{\equiv_T} &= [\varphi \& \psi]_{\equiv_T}\\ \varphi]_{\equiv_T} \vee [\psi]_{\equiv_T} &= [\varphi \vee \psi]_{\equiv_T}\\ -[\varphi]_{\equiv_T} &= [\neg\varphi]\\ \textbf{1} &= [\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}\\ \textbf{0} &= [\varphi \& \neg\varphi]_{\equiv_T} \end{align*} }

Potom $\mathbb {B} (T)=<B(T),\wedge ,\vee ,-,{\textbf {0}},{\textbf {1}}>$ je Booleova algebra.\\

Omezíme-li se nyní pouze na sentence tj. místo $B(T)$ definujeme operace na $LT(T)=\{[\varphi ]_{\equiv _{T}}|\varphi \in {\mathit {Sent_{L}}}\}$ kde ${\mathit {Sent_{L}}}\subseteq {\mathit {Form_{L}}}$ je množina sentencí, získáme Lindenbaum-Tarského algebru pro teorii $T$ .^[1]

Spočetný průsek a sjednocení

Je rozumné klást otázku na význam spočetného průseku a sjednocení v $\mathbb {B} (T)$ . Intuitivně bychom se mohli pokusit definovat nekonečný průsek množiny $M\subseteq B(T)$ jako nekonečnou konjunkci formulí z $M$ , obdobně nekonečné sjednocení množiny $M$ jako nekonečnou disjunkci formulí z $M$ avšak protože formule mohou mít pouze konečnou délku nebyl by výsledek prvkem $B(T)$ . Pro některé množiny formulí však nekonečný průsek a sjednocení definovat můžeme:\\ Nechť $\varphi \in {\mathit {Form_{L}}}$ potom pro $M_{\varphi }=\{[\varphi (t,x_{0},\cdots )]|t~je~term~jazyka~L\}$ definujme

$\bigvee M_{\varphi }=[(\exists x)(\varphi (x,x_{0},\cdots )]~a~\bigwedge M_{\varphi }=[(\forall x)(\varphi (x,x_{0},\cdots )]$

Uspořádání na B(T)

Jako jakoukoli jinou Booleovu algebru můžeme i $B(T)$ chápat jako uspořádanou množinu pomocí relace $\leq$ :

$[\varphi ]\leq [\psi ]\Leftrightarrow [\varphi ]=[\varphi ]\wedge [\psi ]$

neboť $[\varphi ]=[\varphi ]\wedge [\psi ]$ v $\mathbb {B} (T)$ vlastně znamená $T\vdash \varphi \leftrightarrow \varphi \wedge \psi$ což je ekvivalentní s $T\vdash \varphi \rightarrow \psi$ dostáváme:

$[\varphi ]\leq [\psi ]\Leftrightarrow T\vdash \varphi \rightarrow \psi$ ~.\\

Stojí za povšimnutí, že uspořádání na $\mathbb {B} (T)$ lze interpretovat jako "čím blíže je $[\varphi ]$ k ${\textbf {0}}$ tím silnějším je tvrzením" (blízkost nule může odpovídat snadnosti falsifikace, ${\textbf {0}}$ je falsisikovaná vždy naopak ${\textbf {1}}$ není falsifikovatelná nikdy). Mimo jiné tato interpretace plyne i z triviálního faktu, že čím blíže je $[\varphi ]$ k ${\textbf {0}}$ tím větší (co do inkluze) je množina následníků tj. čím silnější předpoklad učiníme, tím více závěrů jsme schopni udělat. S touto interpretací se můžeme setkat například ve forcingu, kde $p\leq q$ interpretujeme jako " $p$ je silnější podmínka než $q$ ".

Definice

Nechť $T$ je teorie prvořádové predikátové logiky a $L$ její jazyk, potom $\mathbb {LT} (T)=<LT(T),\wedge ,\vee ,-,{\textbf {0}},{\textbf {1}}>$ kde $LT(T)=\{[\varphi ]_{\equiv _{T}}|\varphi \in {\mathit {Sent_{L}}}\}$ a $\equiv _{T}$ , $\wedge$ , $\vee$ , $-$ , ${\textbf {0}}$ a ${\textbf {1}}$ jsou definovány jako v Konstrkukce výše, nazveme Lindenbaum-Tarského algebrou pro teorii $T$ .

Vlastnosti

Je-li $T$ sporná, potom $\forall \varphi ,\psi \in {\mathit {Form_{L}}}:T\vdash \varphi \leftrightarrow \psi$ a tedy $|B(T)|=1$ a tedy i $|L(T)|=1$ .\\
Je-li $T$ bezesporná, je Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle |B(T)|\geq2<math> neboť <math>T \vdash \neg(\varphi \vee \neg\varphi \leftrightarrow \varphi \& \neg\varphi)} a proto $[\varphi \vee \neg \varphi ]_{\equiv _{T}}~\neq ~[\varphi \&\neg \varphi ]_{\equiv _{T}}$ .\\
Je-li $T$ bezesporná a navíc úplná dostáváme $|L(T)|=2$ neboť z úplnosti $T$ plyne, že $\forall \sigma \in {\mathit {Sent_{L}}}:T\vdash \sigma neboT\vdash \neg \sigma$ a tedy $T\vdash \sigma \leftrightarrow \top$ nebo $T\vdash \sigma \leftrightarrow \bot$ z čehož plyne, že $[\sigma ]_{\equiv _{T}}\in [\varphi \vee \neg \varphi ]_{\equiv _{T}}$ nebo $[\sigma ]_{\equiv _{T}}\in [\varphi \&\neg \varphi ]_{\equiv _{T}}$ a tedy $L(T)=\{[\varphi \vee \neg \varphi ]_{\equiv _{T}},[\varphi \&\neg \varphi ]_{\equiv _{T}}\}$ \\
Je-li $T$ bezesporná a neúplná potom $|L(T)|\geq 4$ neboť existuje sentence $\sigma$ t.ž. $T\nvdash \sigma$ a $T\nvdash \neg \sigma$ a tudíž $\sigma \notin [\top ]_{\equiv _{T}}$ , $\sigma \notin [\bot ]_{\equiv _{T}}$ a proto jsou $[\top ]_{\equiv _{T}},[\bot ]_{\equiv _{T}},[\sigma ]_{\equiv _{T}},[\neg \sigma ]_{\equiv _{T}}$ čtyři navzájem různé prvky $L(T)$ .
Každá Booleova algebra je izomorfní Lindenbaum-Tarského algebře $LT(T)$ pro vhodné $T$ .^[2]

${\mathcal {L}}_{n}(P,{\mathfrak {A}})$

Definice: Nechť ${\mathfrak {A}}$ je struktura s nosičem $A$ a $P\subseteq A$ , potom ${\mathcal {L}}(P)$ je jazyk obsahující pouze parametry z $P$ a ${\mathit {Form_{{\mathcal {L}}(P)}^{n}}}$ množina formulí $\varphi$ v jazyce ${\mathcal {L}}(P)$ kde $\varphi$ má právě $n$ proměnných.

Na množině ${\mathit {Form_{{\mathcal {L}}(P)}^{n}}}$ můžeme opět zavést ekvivalenci $\equiv _{T}$ jako výše v Konstrukci. Zadefinujeme-li také $\equiv _{T}$ , $\wedge$ , $\vee$ , $-$ , ${\textbf {0}}$ a ${\textbf {1}}$ jako v Konstrukci výše a zvolíme $T=Th({\mathfrak {A}})$ získáme Booleovu algebru, jež značíme ${\mathcal {L}}_{n}(P,{\mathfrak {A}})$ .

Definice: Nechť ${\mathfrak {A}}$ je struktura s nosičem $A$ a $P\subseteq A$ , řekneme, že množina $X\subseteq A^{n}$ je $P$ -definovatelná pokud existuje $\varphi \in {\mathit {Form_{{\mathcal {L}}(P)}^{n}}}$ taková, že $\varphi$ definuje $X$ . Soubor všech $P$ -definovatelných množin na $A$ označíme $B_{n}(P,{\mathfrak {A}})$

Význam: Vzhledem k tomu, že každá $[\varphi ]_{\equiv _{T}}$ z ${\mathcal {L}}_{n}(P,{\mathfrak {A}})$ definuje právě jednu $P\$$ definovatelnou množinu v $A^{n}$ nepřekvapí nás, že platí:

${\mathcal {L}}_{n}(P,{\mathfrak {A}})\cong \mathbb {B} _{n}(P,{\mathfrak {A}})$

kde $\mathbb {B} _{n}(P,{\mathfrak {A}}$ je algebra množin s nosičem $B_{n}(P,{\mathfrak {A}})$ .^[3]

Algebra $\mathbb {B} _{n}(P,{\mathfrak {A}})$ slouží k definici $n$ -typu v Teorii modelů a důkazu Morleyho věty.

Odkazy

Reference

↑ Radek Honzík, Boolean Algebras, Lecture Notes, Winter 2013
↑ Handbook of Boolean Algebras: Volume 1, North-Holland 1989, Theorem 9.10
↑ A Shorten Model Theory, Wilfred Hodges, Cambridge UP, April 1997

Použitá literatura

Radek Honzík, Boolean Algebras, Lecture Notes, Winter 2013
Radek honzík, Introduction to Model Theory, Lecture Notes, Winter 2012
A Shorten Model Theory, Wilfred Hodges, Cambridge UP, April 1997
Thomas Jech, Set Theory - The 3rd Millenium Edition revised and expanded, Springer, 2006

Související články

Booleova algebra
Forcing
Teorie modelů

[1] Radek Honzík, Boolean Algebras, Lecture Notes, Winter 2013

[2] Handbook of Boolean Algebras: Volume 1, North-Holland 1989, Theorem 9.10

[3] A Shorten Model Theory, Wilfred Hodges, Cambridge UP, April 1997

[1]

[2]

[3]

@@ Řádek 2: / Řádek 2: @@
 == Konstrukce ==
-Uvažme $\varphi, \psi \in \mathit{Form_L}$, kde $\mathit{Form_L}$ je množina všech prvořádových formulí predikátové logiky v jazyce L, a teorii $T\subseteq\mathit{Form_L}$. Pro každou takovouto teorii můžeme definovat ekvivalenci $\equiv_T$ následovně:
+Uvažme <math>\varphi, \psi \in \mathit{Form_L}</math>, kde <math>\mathit{Form_L}</math> je množina všech prvořádových formulí predikátové logiky v jazyce L, a teorii <math>T\subseteq\mathit{Form_L}</math>. Pro každou takovouto teorii můžeme definovat ekvivalenci <math>\equiv_T</math> následovně:
-$$ \varphi\equiv_T\psi \Leftrightarrow T\vdash \varphi\leftrightarrow\psi $$
-Označme nyní $[\varphi]_{\equiv_T}$ ekvivalenční třídu pro $\varphi$ a uvažme $B(T)=\{[\varphi]_{\equiv_T}| \varphi \in \mathit{Form_L}\}$  na níž definujme operace $\wedge$ ('''průsek'''), $\vee$ ('''sjednocení'''), $-$ ('''komplement''') a prvky $\textbf{1}$ ('''maximální prvek'''), $\textbf{0}$ ('''minimální prvek''') takto:
+<math> \varphi\equiv_T\psi \Leftrightarrow T\vdash \varphi\leftrightarrow\psi</math>
+Označme nyní <math>[\varphi]_{\equiv_T}</math> ekvivalenční třídu pro <math>\varphi</math> a uvažme <math>B(T)=\{[\varphi]_{\equiv_T}| \varphi \in \mathit{Form_L}\}</math>  na níž definujme operace <math>\wedge</math> ('''průsek'''), <math>\vee</math> ('''sjednocení'''), <math>-</math> ('''komplement''') a prvky <math>\textbf{1}</math> ('''maximální prvek'''), <math>\textbf{0}</math> ('''minimální prvek''') takto:
+<math>
 \begin{align*}
 [\varphi]_{\equiv_T} \wedge [\psi]_{\equiv_T} &= [\varphi \& \psi]_{\equiv_T}\\
-[\varphi]_{\equiv_T} \vee [\psi]_{\equiv_T} &= [\varphi \vee \psi]_{\equiv_T}\\
+\varphi]_{\equiv_T} \vee [\psi]_{\equiv_T} &= [\varphi \vee \psi]_{\equiv_T}\\
 -[\varphi]_{\equiv_T} &= [\neg\varphi]\\
 \textbf{1} &= [\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}\\
 \textbf{0} &= [\varphi \& \neg\varphi]_{\equiv_T}
 \end{align*}
+</math>
-Potom $\mathbb{B}(T)=<B(T),\wedge,\vee,-,\textbf{0},\textbf{1}>$ je Booleova algebra.\\
+Potom <math>\mathbb{B}(T)=<B(T),\wedge,\vee,-,\textbf{0},\textbf{1}></math> je Booleova algebra.\\
-Omezíme-li se nyní pouze na sentence tj. místo $B(T)$ definujeme operace na $LT(T)=\{[\varphi]_{\equiv_T}| \varphi \in \mathit{Sent_L}\}$ kde $\mathit{Sent_L}\subseteq\mathit{Form_L}$ je množina sentencí, získáme '''Lindenbaum-Tarského algebru''' pro teorii $T$.<ref>Radek Honzík, Boolean Algebras, Lecture Notes, Winter 2013</ref>
+Omezíme-li se nyní pouze na sentence tj. místo <math>B(T)</math> definujeme operace na <math>LT(T)=\{[\varphi]_{\equiv_T}| \varphi \in \mathit{Sent_L}\}</math> kde <math>\mathit{Sent_L}\subseteq\mathit{Form_L}</math> je množina sentencí, získáme '''Lindenbaum-Tarského algebru''' pro teorii <math>T</math>.<ref>Radek Honzík, Boolean Algebras, Lecture Notes, Winter 2013</ref>
 === Spočetný průsek a sjednocení ===
-Je rozumné klást otázku na význam spočetného průseku a sjednocení v $\mathbb{B}(T)$. Intuitivně bychom se mohli pokusit definovat nekonečný průsek množiny $M\subseteq B(T)$ jako nekonečnou konjunkci formulí z $M$, obdobně nekonečné sjednocení množiny $M$ jako nekonečnou disjunkci formulí z $M$ avšak protože formule mohou mít pouze konečnou délku nebyl by výsledek prvkem $B(T)$.
+Je rozumné klást otázku na význam spočetného průseku a sjednocení v <math>\mathbb{B}(T)</math>. Intuitivně bychom se mohli pokusit definovat nekonečný průsek množiny <math>M\subseteq B(T)</math> jako nekonečnou konjunkci formulí z <math>M</math>, obdobně nekonečné sjednocení množiny <math>M</math> jako nekonečnou disjunkci formulí z <math>M</math> avšak protože formule mohou mít pouze konečnou délku nebyl by výsledek prvkem <math>B(T)</math>.
 '''Pro některé množiny formulí však nekonečný průsek a sjednocení definovat můžeme''':\\
-Nechť $\varphi \in\mathit{Form_L}$ potom pro $M_\varphi=\{[\varphi(t,x_0,\cdots)]|t~je~term~jazyka~L\}$ definujme $$\bigvee M_\varphi=[(\exists x)(\varphi(x,x_0,\cdots)]~a~\bigwedge M_\varphi=[(\forall x)(\varphi(x,x_0,\cdots)]$$
+Nechť <math>\varphi \in\mathit{Form_L}</math> potom pro <math>M_\varphi=\{[\varphi(t,x_0,\cdots)]|t~je~term~jazyka~L\}</math> definujme
+<math>\bigvee M_\varphi=[(\exists x)(\varphi(x,x_0,\cdots)]~a~\bigwedge M_\varphi=[(\forall x)(\varphi(x,x_0,\cdots)]</math>
 === Uspořádání na B(T) ===
-Jako jakoukoli jinou Booleovu algebru můžeme i $B(T)$ chápat jako '''uspořádanou množinu''' pomocí relace $\leq$ : $$[\varphi]\leq[\psi] \Leftrightarrow [\varphi]=[\varphi]\wedge[\psi]$$ neboť $[\varphi]=[\varphi]\wedge[\psi]$ v $\mathbb{B}(T)$ vlastně znamená $T \vdash \varphi \leftrightarrow \varphi \wedge \psi$ což je ekvivalentní s $T \vdash \varphi \rightarrow \psi$ dostáváme: $$[\varphi]\leq[\psi] \Leftrightarrow T \vdash \varphi \rightarrow \psi$$~.\\
+Jako jakoukoli jinou Booleovu algebru můžeme i <math>B(T)</math> chápat jako '''uspořádanou množinu''' pomocí relace <math>\leq</math> :
-Stojí za povšimnutí, že uspořádání na $\mathbb{B}(T)$ lze interpretovat jako ''"čím blíže je $[\varphi]$ k $\textbf{0}$ tím silnějším je tvrzením"'' (blízkost nule může odpovídat snadnosti falsifikace, $\textbf{0}$ je falsisikovaná vždy naopak $\textbf{1}$ není falsifikovatelná nikdy).Mimo jiné tato interpretace plyne i z triviálního faktu, že čím blíže je $[\varphi]$ k $\textbf{0}$ tím větší (co do inkluze) je množina následníků tj. čím silnější předpoklad učiníme, tím více závěrů jsme schopni udělat. S touto interpretací se můžeme setkat například ve [[Forcing|forcingu]], kde $p\leq q$ interpretujeme jako ''"$p$ je silnější podmínka než $q$"''.
+<math>[\varphi]\leq[\psi] \Leftrightarrow [\varphi]=[\varphi]\wedge[\psi]</math>
+neboť <math>[\varphi]=[\varphi]\wedge[\psi]</math> v <math>\mathbb{B}(T)</math> vlastně znamená <math>T \vdash \varphi \leftrightarrow \varphi \wedge \psi</math> což je ekvivalentní s <math>T \vdash \varphi \rightarrow \psi</math> dostáváme:
+<math>[\varphi]\leq[\psi] \Leftrightarrow T \vdash \varphi \rightarrow \psi</math>~.\\
+Stojí za povšimnutí, že uspořádání na <math>\mathbb{B}(T)</math> lze interpretovat jako ''"čím blíže je <math>[\varphi]</math> k <math>\textbf{0}</math> tím silnějším je tvrzením"'' (blízkost nule může odpovídat snadnosti falsifikace, <math>\textbf{0}</math> je falsisikovaná vždy naopak <math>\textbf{1}</math> není falsifikovatelná nikdy). Mimo jiné tato interpretace plyne i z triviálního faktu, že čím blíže je <math>[\varphi]</math> k <math>\textbf{0}</math> tím větší (co do inkluze) je množina následníků tj. čím silnější předpoklad učiníme, tím více závěrů jsme schopni udělat. S touto interpretací se můžeme setkat například ve [[Forcing|forcingu]], kde <math>p\leq q</math> interpretujeme jako ''"<math>p</math> je silnější podmínka než <math>q</math>"''.
 == Definice ==
-Nechť $T$ je teorie prvořádové predikátové logiky a $L$ její jazyk, potom $\mathbb{LT}(T)=<LT(T),\wedge,\vee,-,\textbf{0},\textbf{1}>$ kde  $LT(T)=\{[\varphi]_{\equiv_T}| \varphi \in \mathit{Sent_L}\}$ a  $\equiv_T$, $\wedge$, $\vee$, $-$,$\textbf{0}$ a $\textbf{1}$ jsou definovány jako v ''Konstrkukce'' výše, nazveme '''Lindenbaum-Tarského algebrou pro teorii''' $T$.
+Nechť <math>T</math> je teorie prvořádové predikátové logiky a <math>L</math> její jazyk, potom <math>\mathbb{LT}(T)=<LT(T),\wedge,\vee,-,\textbf{0},\textbf{1}></math> kde  <math>LT(T)=\{[\varphi]_{\equiv_T}| \varphi \in \mathit{Sent_L}\}</math> a  <math>\equiv_T</math>, <math>\wedge</math>, <math>\vee</math>, <math>-</math>, <math>\textbf{0}</math> a <math>\textbf{1}</math> jsou definovány jako v ''Konstrkukce'' výše, nazveme '''Lindenbaum-Tarského algebrou pro teorii''' <math>T</math>.
 == Vlastnosti ==
-*Je-li $T$ '''sporná''', potom $\forall \varphi,\psi \in \mathit{Form_L} : T\vdash \varphi\leftrightarrow\psi$ a tedy $|B(T)|=1$ a tedy i $|L(T)|=1$.\\
+*Je-li <math>T</math> '''sporná''', potom <math>\forall \varphi,\psi \in \mathit{Form_L} : T\vdash \varphi\leftrightarrow\psi</math> a tedy <math>|B(T)|=1</math> a tedy i <math>|L(T)|=1</math>.\\
-*Je-li $T$ '''bezesporná''', je $|B(T)|\geq2$ neboť $T \vdash  \neg(\varphi \vee \neg\varphi \leftrightarrow \varphi \& \neg\varphi)$ a proto $[\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}~\neq~[\varphi \& \neg\varphi]_{\equiv_T}$.\\
+*Je-li <math>T</math> '''bezesporná''', je <math>|B(T)|\geq2<math> neboť <math>T \vdash  \neg(\varphi \vee \neg\varphi \leftrightarrow \varphi \& \neg\varphi)</math> a proto <math>[\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}~\neq~[\varphi \& \neg\varphi]_{\equiv_T}</math>.\\
-*Je-li $T$ '''bezesporná''' a navíc '''úplná''' dostáváme $|L(T)|=2$ neboť z úplnosti $T$ plyne, že $\forall \sigma \in \mathit{Sent_L} : T \vdash \sigma nebo T \vdash \neg\sigma$ a tedy $T \vdash \sigma \leftrightarrow \top$ nebo $T \vdash \sigma \leftrightarrow \bot$ z čehož plyne, že $[\sigma]_{\equiv_T} \in [\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}$ nebo $[\sigma]_{\equiv_T} \in [\varphi \& \neg\varphi]_{\equiv_T}$ a tedy $L(T)=\{[\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T},[\varphi \& \neg\varphi]_{\equiv_T}\}$\\
+*Je-li <math>T</math> '''bezesporná''' a navíc '''úplná''' dostáváme <math>|L(T)|=2</math> neboť z úplnosti <math>T</math> plyne, že <math>\forall \sigma \in \mathit{Sent_L} : T \vdash \sigma nebo T \vdash \neg\sigma</math> a tedy <math>T \vdash \sigma \leftrightarrow \top</math> nebo <math>T \vdash \sigma \leftrightarrow \bot</math> z čehož plyne, že <math>[\sigma]_{\equiv_T} \in [\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T}</math> nebo <math>[\sigma]_{\equiv_T} \in [\varphi \& \neg\varphi]_{\equiv_T}</math> a tedy <math>L(T)=\{[\varphi \vee \neg\varphi]_{\equiv_T},[\varphi \& \neg\varphi]_{\equiv_T}\}</math>\\
-*Je-li $T$ '''bezesporná''' a '''neúplná''' potom $|L(T)|\geq 4$ neboť existuje sentence $\sigma$ t.ž. $T \nvdash \sigma$ a $T \nvdash\neg\sigma$ a tudíž $\sigma \notin [\top]_{\equiv_T}$, $\sigma \notin [\bot]_{\equiv_T}$ a proto jsou $[\top]_{\equiv_T},[\bot]_{\equiv_T},[\sigma]_{\equiv_T},[\neg\sigma]_{\equiv_T}$ čtyři navzájem různé prvky $L(T)$.
+*Je-li <math>T</math> '''bezesporná''' a '''neúplná''' potom <math>|L(T)|\geq 4</math> neboť existuje sentence <math>\sigma</math> t.ž. <math>T \nvdash \sigma</math> a <math>T \nvdash\neg\sigma</math> a tudíž <math>\sigma \notin [\top]_{\equiv_T}</math>, <math>\sigma \notin [\bot]_{\equiv_T}</math> a proto jsou <math>[\top]_{\equiv_T},[\bot]_{\equiv_T},[\sigma]_{\equiv_T},[\neg\sigma]_{\equiv_T}</math> čtyři navzájem různé prvky <math>L(T)</math>.
-*Každá Booleova algebra je izomorfní Lindenbaum-Tarského algebře $LT(T)$ pro vhodné $T$.<ref>Handbook of Boolean Algebras: Volume 1, North-Holland 1989, Theorem 9.10</ref>
+*Každá Booleova algebra je izomorfní Lindenbaum-Tarského algebře <math>LT(T)</math> pro vhodné <math>T</math>.<ref>Handbook of Boolean Algebras: Volume 1, North-Holland 1989, Theorem 9.10</ref>
-=== $\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A}) ===
+=== <math>\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})</math> ===
 {| class="wikitable"
 |-
-| '''Definice:''' Nechť $\mathfrak{A}$ je struktura s nosičem $A$ a $P\subseteq A$, potom $\mathcal{L}(P)$ je jazyk obsahující pouze parametry z $P$ a $\mathit{Form^n_{\mathcal{L}(P)}}$ množina formulí $\varphi$ v jazyce $\mathcal{L}(P)$ kde $\varphi$ má právě $n$ proměnných.
+| '''Definice:''' Nechť <math>\mathfrak{A}</math> je struktura s nosičem <math>A</math> a <math>P\subseteq A</math>, potom <math>\mathcal{L}(P)</math> je jazyk obsahující pouze parametry z <math>P</math> a <math>\mathit{Form^n_{\mathcal{L}(P)}}</math> množina formulí <math>\varphi</math> v jazyce <math>\mathcal{L}(P)</math> kde <math>\varphi</math> má právě <math>n</math> proměnných.
 |}
-Na množině $\mathit{Form^n_{\mathcal{L}(P)}}$ můžeme opět zavést ekvivalenci $\equiv_T$ jako výše v ''Konstrukci''. Zadefinujeme-li také $\equiv_T$, $\wedge$, $\vee$, $-$,$\textbf{0}$ a $\textbf{1}$ jako v ''Konstrukci'' výše a zvolíme $T=Th(\mathfrak{A})$ získáme Booleovu algebru, jež značíme $\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})$.
+Na množině <math>\mathit{Form^n_{\mathcal{L}(P)}}</math> můžeme opět zavést ekvivalenci <math>\equiv_T</math> jako výše v ''Konstrukci''. Zadefinujeme-li také <math>\equiv_T</math>, <math>\wedge</math>, <math>\vee</math>, <math>-</math>,<math>\textbf{0}</math> a <math>\textbf{1}</math> jako v ''Konstrukci'' výše a zvolíme <math>T=Th(\mathfrak{A})</math> získáme Booleovu algebru, jež značíme <math>\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})</math>.
 {| class="wikitable"
 |-
-| '''Definice:''' Nechť $\mathfrak{A}$ je struktura s nosičem $A$ a $P\subseteq A$, řekneme, že množina $X \subseteq A^n$ je $P$-definovatelná pokud existuje $\varphi \in \mathit{Form^n_{\mathcal{L}(P)}}$ taková, že $\varphi$ definuje $X$. Soubor všech $P$-definovatelných množin na $A$ označíme $B_n(P,\mathfrak{A})$
+| '''Definice:''' Nechť <math>\mathfrak{A}</math> je struktura s nosičem <math>A</math> a <math>P\subseteq A</math>, řekneme, že množina <math>X \subseteq A^n</math> je <math>P</math>-definovatelná pokud existuje <math>\varphi \in \mathit{Form^n_{\mathcal{L}(P)}}</math> taková, že <math>\varphi</math> definuje <math>X</math>. Soubor všech <math>P</math>-definovatelných množin na <math>A</math> označíme <math>B_n(P,\mathfrak{A})</math>
 |}
-'''Význam:''' Vzhledem k tomu, že každá $[\varphi]_{\equiv_T}$ z $\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})$ definuje právě jednu $P$-definovatelnou množinu v $A^n$ nepřekvapí nás, že platí:$$\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})\cong\mathbb{B}_n(P,\mathfrak{A})$$ kde $\mathbb{B}_n(P,\mathfrak{A}$ je algebra množin s nosičem $B_n(P,\mathfrak{A})$.<ref>A Shorten Model Theory, Wilfred Hodges, Cambridge UP, April 1997</ref>
+'''Význam:''' Vzhledem k tomu, že každá <math>[\varphi]_{\equiv_T}</math> z <math>\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})</math> definuje právě jednu <math>P$</math>definovatelnou množinu v <math>A^n</math> nepřekvapí nás, že platí:
+<math>\mathcal{L}_n(P,\mathfrak{A})\cong\mathbb{B}_n(P,\mathfrak{A})</math>
+kde <math>\mathbb{B}_n(P,\mathfrak{A}</math> je algebra množin s nosičem <math>B_n(P,\mathfrak{A})</math>.<ref>A Shorten Model Theory, Wilfred Hodges, Cambridge UP, April 1997</ref>
-Algebra $\mathbb{B}_n(P,\mathfrak{A})$ slouží k definici $n$-typu v [[Teorie modelů|Teorii modelů]] a důkazu [[Morleyva věta|Morleyho věty]].
+Algebra <math>\mathbb{B}_n(P,\mathfrak{A})</math> slouží k definici <math>n</math>-typu v [[Teorie modelů|Teorii modelů]] a důkazu [[Morleyva věta|Morleyho věty]].
 == Odkazy ==
 === Reference ===