Booleova algebra

Booleova algebra, nazvaná podle irského matematika George Boolea, je struktura $\mathbb {B} =(B,\wedge ,\vee ,{\textbf {1}},{\textbf {0}},-)$, kde $B$ je neprázdný nosič, $\wedge ,\vee$ jsou binární operátory, 0 je nejmenší a 1 největší prvek, $-$ je unární operátor na B a platí axiomy:
$B_{1}$ asociativita $\wedge ,\vee$
$B_{2}$ komutativita $\wedge ,\vee$
$B_{3}$ distributivita $\wedge ,\vee$
$B_{4}$ komplementarita $a\wedge -a=0,a\vee -a=1$
$B_{5}$ absorpce $a\vee (a\wedge b)=a,a\wedge (a\vee b)=a$
$B_{6}$ nedegenerovanost ${\textbf {0}}\neq {\textbf {1}}$

Poslední z uvedených axiomů způsobuje, že triviální svaz tvořený jednoprvkovou množinou (0 = 1) není BA.

Booleova algebra je distributivní komplementární svaz, tedy pro každý prvek z nosiče existuje právě jeden jeho komplement (doplněk) takový, který splňuje $a\wedge -a=0\wedge a\vee -a=1$. Uvedené operace, tedy průsek, spojení a operaci $-$ pro doplněk, označujeme jako booleovská operace.

Dualita operací

Algebraická dualita

Máme-li formuli $\varphi$ v jazyce $(\wedge ,\vee ,{\textbf {1}},{\textbf {0}},-)$, pak její dualitu $d(\varphi )$ vytvoříme tak, že nahradíme $\wedge$ za $\vee$, $\vee$ za $\wedge$,1 za 0 a 0 za 1. Je-li tedy $\langle \mathbb {B} ,\wedge ,\vee ,{\textbf {1}},{\textbf {0}},-\rangle$ Booleova algebra, pak je Booleova algebra i $\langle \mathbb {B} ,\vee ,\wedge ,{\textbf {0}},{\textbf {1}},-\rangle$. Formule $\varphi$ platí v každé BA, jestliže v každé BA platí její dualita $d(\varphi )$. Stačí nám tedy dokazovat jen polovinu vět, zbytek dostaneme díky této vlastnosti.

Stoneova dualita

Stoneova dualita, pojmenovaná po Marshallu Stoneovi dává do souvislosti Booleovy algebry a kompaktní totálně nesouvislé topologické prostory.

Formule a zákony platné v Booleově algebře

$a\leq b\equiv a\wedge b=a\equiv a\vee b=b$
$a-b\equiv a\wedge -b$
$a\vartriangle b\equiv a-b\vee b-a$ (symetrický rozdíl)
$--a=a$
$-a=-b\rightarrow a=b$
$a\leq b\leftrightarrow -b\leq -a$

Zákon idempotence

$a\wedge a=a$
$a\vee a=a$

Zákon pohlcení

$a\wedge (a\vee b)=a$
$a\vee (a\wedge b)=a$

Zákony de Morganovy

$-(a\wedge b)=-a\vee -b$
$-(a\vee b)=-a\wedge -b$

Monotonie

Jestliže $a_{1}<a_{2}$ a $b_{1}<b_{2}$, pak v každé Booleově algebře platí:
$a_{1}\vee b_{1}\leq a_{2}\vee b_{2}$
$a_{1}\wedge b_{1}\leq a_{2}\wedge b_{2}$
$-a_{2}\leq -a_{1}$

Isomorfismus BA

Dvě Booleovy algebry $\mathbb {B}$ a $\mathbb {C}$ jsou isomorfní (značíme $\mathbb {B} \cong \mathbb {C}$) právě tehdy, když $(\mathbb {B} ,\leq )$ a $(\mathbb {C} ,\leq )$ jsou isomorfní jako uspořádání.

Podalgebra

Libovolnou neprázdnou podmnožinu C uzavřenou na booleovské operace algebry $\mathbb {B}$ (operace podalgebry $\mathbb {C}$ jsou zúžením operací algebry $\mathbb {B}$ na množinu C) nazýváme podalgebrou Booleovy algebry $\mathbb {B}$. Každá podalgebra Booleovy algebry je také Booleova algebra. Každá podalgebra obsahuje 0 a 1, samu sebe a triviální algebru jako své podalgebry.

Mohutnost Booleovy algebry

Mohutnost Booleovy algebry odpovídá mohutnosti její nosné množiny. Je-li $\kappa$ nekonečná, pak existuje Booleova algebra mohutnosti $\kappa$. Pro každou mohutnost X existuje Booleova algebra.

Zdroje

• BALCAR B., ŠTĚPÁNEK P. Teorie množin, Kapitola IV. Academia, Praha, 1986.