Filtr

Množina $F\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ je filtr, pokud platí:

1. $\emptyset \notin F,X\in F$
2. $A,B\in F\rightarrow A\wedge B\in F$
3. $A\subseteq B,A\in F\rightarrow B\in F$

Duál k filtru je ideál: $F^{*}=\{X\smallsetminus A:A\in F\}$

• $F_{n}$ je triviální filtr, pokud $F_{n}=\{X\subseteq \mathbb {N} :n\in F_{n}\}$

Je-li $A\subseteq \mathbb {B} ^{+}$, pak platí:

1. A je ultrafiltr, pokud $(\forall a\in B)(a\in A\vee -a\in A)$
2. A je prvofiltr (primefilter), pokud $(a\vee b\in A\rightarrow (a\in A\vee b\in A)$
3. A je maximální filtr, pokud $\forall C\supset A$, $C$ není filtr

Výše uvedené tři podmínky jsou ekvivalentní.
Důkaz:

1. Je-li U ultrafiltr, pak je prvofiltr.
2. Je-li U prvofiltr, pak je maximální.
3. Je-li U maximální, pak je ultra.

Je-li $A\subseteq \mathbb {B} ^{+}$ filtr, pak $\exists U\supseteq F$, $U$ je ultrafiltr.

Zdroje

Poznámky z přednášek Booleovy algebry na Katedře Logiky.